Question

已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，點D在邊BC上，AD平分∠CAB，E為AC上的一個動點（不與A、C重合），EF⊥AB，垂足為F．
（1）求證：AD=DB；
（2）設(shè)CE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（3）當∠DEF=90°時，求BF的長？

Answer 1

（1）證明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠DAC=

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∠CAB=30°，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=DB．

（2）在△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AE=AC-EC=6-x，AF=

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AE=

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(6-x)，
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=6，
∴AB=12，
∴BF=AB-AF=12-

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(6-x)=9+

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x，
∴y=9+

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x，
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=9+

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x（0＜x＜6）．

（3）當∠DEF=90°時，∠CED=180°-∠AEF-∠FED=60°，
∴∠EDC=30°，ED=2x，
∵∠C=90°，∠DAC=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠EDA=60°-30°=30°=∠DAE，
∴ED=AE=6-x．
∴有2x=6-x，得x=2，
此時，y=9+

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×2=10，
答：BF的長為10．