Question

【題目】如圖：△ABC是等邊三角形，AB＝12，E是AC中點，D是直線BC上一動點，線段ED繞點E逆時針旋轉90°，得線段EF，當點D運動時，則線段AF的最小值為_____．

Answer 1

【答案】3+3

【解析】

連接BE，延長EC到N，使EN＝BE，連接FN，過點A作AG⊥BC于G，過點A作AH⊥FN于H，由等邊三角形的性質可得AC＝AB＝12，AE＝EC＝6，BE⊥AC，∠GAC＝∠EBC＝30°，BE＝6＝EN，由旋轉的性質可得DE＝EF，∠DEF＝90°，由“SAS“可證△BED≌△NEF，可得∠EBC＝∠ENF＝30°，可得點F在過點N且平行于AG的直線上，當AF⊥FN時，AF的值最小，由直角三角形的性質可求線段AF的最小值．

解：如圖，連接BE，延長EC到N，使EN＝BE，連接FN，過點A作AG⊥BC于G，過點A作AH⊥FN于H，

∵△ABC是等邊三角形，AB＝12，E是AC中點，AG⊥BC，

∴AC＝AB＝12，AE＝EC＝6，BE⊥AC，∠GAC＝∠EBC＝30°，BE＝=6＝EN，

∵線段ED繞點E逆時針旋轉90°，

∴DE＝EF，∠DEF＝90°，

∵∠BEC＝∠DEF＝90°，

∴∠BED＝∠FEN，且DE＝EF，BE＝EN，

∴△BED≌△NEF（SAS），

∴∠EBC＝∠ENF＝30°，

∴∠GAC＝∠ENF，

∴AG∥NF，

∴點F在過點N且平行于AG的直線上，

∴當AF⊥FN時，AF的值最小，

∵AH⊥FN，∠ENF＝30°，

∴AH＝AN＝（6+6）＝3+3，

∴線段AF的最小值為3+3，

故答案為：3+3．