Question

【題目】已知二次函數y=（k是常數）．

（1）若該函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，試求k的取值范圍；

（2）若點（1，k）在某反比例函數圖象上，要使該反比例函數和二次函數y=都是y隨x的增大而增大，求k應滿足的條件及x的取值范圍；

（3）若拋物線y=與x軸交于A（，0）、B（，0）兩點，且＜，=34，若與y軸不平行的直線y=ax+b經過點P（1，3），且與拋物線交于（，）、（，）兩點，試探究是否為定值，并寫出探究過程．

Answer 1

【答案】(1) k＜，且k≠0；(2) k＜0；x＜；(3)1，理由詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據題意k≠0，△＞0，列出不等式組即可解決問題．

（2）設反比例函數解析式為y=，因為經過點（1，k），所以m=k，再根據條件即可確定k的值以及x的范圍．

（3）結論：=1．令y=0，則有=0，所以+=，=，根據=34，列出方程求出k的值，設過點P的直線為y=kx+3﹣k，由消去y得+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，得=﹣（4k﹣2），=﹣3﹣4k，根據=，代入化簡即可解決問題．

試題解析：（1）∵二次函數y=與x軸有兩個不同的交點，

∴，

解得k＜，且k≠0．

所以若該函數的圖象與x軸有兩個不同的交點，k的取值范圍是k＜，且k≠0；

（2）設反比例函數解析式為y=，

∵經過點（1，k），

∴m=k，

∵反比例函數和二次函數y=都是y隨x的增大而增大，

∴k＜0，x＜，即x＜．

（3）結論：=1．

理由：令y=0，則有=0，

∴+=，=

∵=34，

∴=34，

∴=0，

解得k=或，

由（1）可知k＜，

∴k=，

∴拋物線解析式為y=，

設過點P的直線為y=kx+b，把P（1，3）代入得3=k+b，

∴b=3﹣k，

∴過點P的直線為y=kx+3﹣k，

∵過點P的直線為y=kx+3﹣k與物線交于（，）、（，）兩點，

∴=k+3﹣k，=k+3﹣k，

由消去y得+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，

∴=﹣（4k﹣2），=﹣3﹣4k ，

∴===1.