Question

【題目】如圖，一次函數與反比例函數的圖象在第一象限交于點，與軸的負半軸交于點，且．

（1）求一次函數和的表達式；

（2）在軸上是否存在一點，使得是以為腰的等腰三角形，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）反比例函數的圖象記為曲線，將向右平移3個單位長度，得曲線，則平移至處所掃過的面積是_________．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）反比例函數解析式為；一次函數的解析式為y=2x-5；（2）存在，，，，；（3）27

【解析】

（1）把點A的坐標代入反比例函數解析式，求出a，根據勾股定理求出OA，得到OB的長，求出點B的坐標，利用待定系數法求出一次函數解析式；
（2）根據勾股定理求出AB，分AB＝AC、BC＝AB兩種情況，根據勾股定理列方程計算，得到答案；
（3）分別把x＝1、x＝4代入反比例函數解析式求出函數值，求出平行四邊形EFNM的面積，求出C1平移至C2處所掃過的面積．

解：（1）∵點A（4，3）在反比例函數的圖象上，

∴a=4×3=12，

∴反比例函數解析式為；

∵，OA=OB，點B在y軸負半軸上，

∴點B（0，-5）．

把點A（4，3）、B（0，-5）代入y=kx+b中，

得：，解得：，

∴一次函數的解析式為y=2x-5．

（2）存在,

∵點A（4，3），點B（0，-5）

∴

設點C的坐標為（m，0），

①△ABC為等腰三角形，

當時，

則

∴，

∴C的坐標為或

②當時，

則

∴，

∴C的坐標為或

綜上所述：，，，

（3）設點E的橫坐標為1，點F的橫坐標為4，點M、N分別對應點E、F，如圖所示．

令中x＝1，則y＝12，

∴E（1，12）；

令中x＝4，則y＝3，

∴F（4，3），

∵EM∥FN，且EM＝FN，

∴四邊形EMNF為平行四邊形，

∴S＝EM（yEyF）＝3×（123）＝27．

C1平移至C2處所掃過的面積正好為平行四邊形EMNF的面積．
故答案為：27．