Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．以AB為直徑的⊙O交AC于D，E是BC的中點，連接ED并延長交BA的延長線于點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求DB的長；
（3）求S_△FAD：S_△FDB的值．

Answer 1

（1）證明：連接BD，DO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．
∴∠CDB=90°
又∵E為BC的中點，
∴DE=EB=EC，∴∠EDB=∠EBD．
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠OBD=90°．
即OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切線．

（2）在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∵BC²=CD•AC，
∴CD=

32

5

，AD=

18

5

．
又∵△ADB∽△BDC，
∴BD²=AD•CD=

32

5

•

18

5

．
∴BD=

24

5

．

（3）∵∠FDA=∠FBD，∠F=∠F，
∴△FDA∽△FBD，
∴S_△FAD：S_△FDB=(

AD

BD

)2=

9

16

．