Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分線，DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F，已知CD=3．
（1）求AD的長；
（2）求四邊形AEDF的周長．（注意：本題中的計算過程和結果均保留根號）

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD= ∠CAB=30°，

在Rt△ACD中，∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，

∴AD=2CD=6．

（2）解：∵DE∥BA交AC于點E，DF∥CA交AB于點F，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∵∠EAD=∠ADF=∠DAF，

∴AF=DF，

∴四邊形AEDF是菱形，

∴AE=DE=DF=AF，

在Rt△CED中，∵∠CDE=∠B=30°，

∴DE= =2 ，

∴四邊形AEDF的周長為8 ．

【解析】（1）首先證明∠CAD=30°，易知AD=2CD即可解決問題；（2）首先證明四邊形AEDF是菱形，求出ED即可解決問題；
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質和含30度角的直角三角形的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半才能正確解答此題．