Question

【題目】如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交軸、軸于點(diǎn)、，⊙的半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作⊙的切線、，切點(diǎn)分別為、，且．

（1）判斷四邊形的形狀并說(shuō)明理由．

（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）若直線沿軸向左平移得到一條新的直線，此直線將⊙的圓周分得兩段弧長(zhǎng)之比為，請(qǐng)直接寫出的值．

（4）若將⊙沿軸向右平移（圓心始終保持在軸上），試寫出當(dāng)⊙與直線有交點(diǎn)時(shí)圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）OCPD是正方形；（2）（2,4）或（4,2）；（3）±；（4）．

【解析】試題分析: （1）四邊形OCPD是正方形．如圖，連接OC、OD．根據(jù)切線的性質(zhì)和已知條件得知四邊形OCPD的三個(gè)內(nèi)角是90°，則該四邊形是矩形．又由OC=OD，所以四邊形OCPD是正方形；（2）連接OP，由為正方形，可得，設(shè)，由和勾股定理可得，解得：或．所以點(diǎn)坐標(biāo)為或；（3）已知平移后的新直線交圓于，分得的兩段弧長(zhǎng)之比為，可知分得的劣弧是圓周的，因直線與軸夾角為，，可得，所以當(dāng)為圓周時(shí)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)恰好是⊙與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

即可得當(dāng)平移到位置時(shí)，；當(dāng)平移到位置時(shí)，，所以

的值為或；（4）如圖，⊙沿軸向右平移過(guò)程中分別在⊙處，⊙處與直線相切，則圓在落在，之間均滿足題意，由此即可求得圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．

試題解析:

（）四邊形為正方形．

理由如下：連接、，易知，，

又，

∴四邊形為矩形，

又，

∴四邊形為正方形．

（）連接，

∵為正方形，

∴，

∵在直線上，

設(shè)，

由得：

，

解得：或．

∴點(diǎn)坐標(biāo)為或．

（）平移后的新直線交圓于，分得的兩段弧長(zhǎng)之比為，

∴分得的劣弧是圓周的，

∵直線與軸夾角為，，

∴，

當(dāng)為圓周時(shí)，直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)恰好是⊙與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

當(dāng)平移到位置時(shí)，；

當(dāng)平移到位置時(shí)，，

∴的值為或．

（）如圖，⊙沿軸向右平移過(guò)程中分別在⊙處，⊙處與直線相切，

則圓在落在，之間均滿足題意，

在⊙處相切時(shí)，為等腰直角三角形，

∴，．

∴，同理，在⊙處相切時(shí)，，

∴，

∴當(dāng)⊙與直線有交點(diǎn)時(shí)，圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為．