Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，直徑BD交AC于E，過O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．

（1）求證：OFDE=OE2OH；

（2）若⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，求陰影部分的面積．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（1）證明：∵BD是直徑，∴∠DAB=90°。

∵FG⊥AB，∴DA∥FO。∴△FOE∽△ADE。

∴，即OFDE=OEAD。

∵O是BD的中點，DA∥OH，∴AD=2OH。∴OFDE=OE2OH。

（2）解：∵⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，∴OE=4，ED=8，OF=6。

代入（1）中，得AD=12。∴OH=AD=6。

在Rt△ABC中，OB=2OH，∴∠OBH=30°，∴∠BOH=60°。

∴BH=BOsin60°=12×。

∴S陰影=S扇形GOB﹣S△OHB=。

【解析】（1）由BD是直徑，根據圓周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得，然后由O是BD的中點，DA∥OH，可得AD=2OH，則可證得OFDE=OE2OH。

（2）由⊙O的半徑為12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的長，由，求得AD的長，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，繼而可求得BH的長，又由S陰影=S扇形GOB﹣S△OHB，即可求得答案。