Question

已知：正方形ABCD的邊長為8

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厘米，對角線AC上的兩個動點E，F．點E從點A，點F從點C同時出發，沿對角線以1厘米/秒的相同速度運動，過E作EH⊥AC交Rt△ACD的直角邊于H，過F作FG⊥AC交Rt△ACD的直角邊于G，連接HG，EB．設HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S₁，AE，EB，BA圍成的圖形面積為S₂（這里規定：線段的面積為0）E到達C，F到達A停止．若E的運動時間為x秒，解答下列問題：
（1）如圖，判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并證明；
（2）當0＜x＜8時，求x為何值時，S₁=S₂；
（3）若y是S₁與S₂的和，試用x的代數式表示y．（如圖為備用圖）

Answer 1

分析：（1）首先根據動點E、F的運動速度與運動時間均相同得出AE=CF，再由正方形的性質及已知EH⊥AC，FG⊥AC得出△CGF與△AHE都是等腰直角三角形，然后根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形得出結論；
（2）首先由勾股定理求出正方形ABCD的對角線長為16．再連接BD交AC于O，則BO=8．然后用含x的代數式分別表示S₁，S₂，當S₁=S₂時得出關于x的方程，解方程即可；
（3）因為當x=8時，點E與點F重合，此時S₁=0，y=S₂．故應分0≤x＜8與8≤x≤16兩種情況討論．

解答：解：（1）四邊形EFGH是矩形．理由如下：
∵點E從點A，點F從點C同時出發，沿對角線以1厘米/秒的相同速度運動，
∴AE=CF．
∵EH⊥AC，FG⊥AC，
∴EH∥FG．
∵ABCD為正方形，
∴AD=DC，∠D=90°，∠GCF=∠HAE=45°，
又∵EH⊥AC，FG⊥AC，
∴∠CGF=∠AHE=45°，
∴∠GCF=∠CGF，∠HAE=∠AHE，
∴AE=EH，CF=FG，∴EH=FG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵EH⊥AC
∴平行四邊形EFGH是矩形；

（2）∵正方形邊長為8

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，∴AC=16．
∵AE=x，連接BD交AC于O，則BO⊥AC且BO=8，
∴S₂=

1

2

•AE•BO=4x．
∵CF=GF=AE=x，∴EF=16-2x，
∴S₁=EF•GF=x（16-2x）．
當S₁=S₂時，x（16-2x）=4x，
解得x₁=0（舍去），x₂=6．
∴當x=6時，S₁=S₂；

（3）①當0≤x＜8時，y=x（16-2x）+4x=-2x²+20x．
②當8≤x≤16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16．
∴S₁=（16-x）（2x-16）．
∴y=（16-x）（2x-16）+4x=-2x²+52x-256．
綜上，可知y=

-2x2+20x(0≤x＜8) -2x2+52x-256(8≤x≤16)

．

點評：本題主要考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，勾股定理等知識，綜合性較強，難度中等．