Question

如圖，已知矩形ABCD，AB=

3

，BC=3，在BC上取兩點E，F（E在F左邊），以EF為邊作等邊三角形PEF，使頂點P在AD上，PE，PF分別交AC于點G，H．
（1）求△PEF的邊長；
（2）在不添加輔助線的情況下，當F與C不重合時，從圖中找出一對相似三角形，并說明理由；
（3）若△PEF的邊EF在線段BC上移動．試猜想：PH與BE有何數量關系并證明你猜想的結論．

Answer 1

分析：（1）由題意知，等邊△EFP的高與矩形的AB邊相等從而根據三角函數即可求得其邊長；
（2）根據已知及相似三角形的判定方法即可證得相似三角形；
（3）根據已知利用余切及三角形內外角的性質不難求得PH與BE的關系．

解答：解：（1）過P作PQ⊥BC于Q，
∵矩形ABCD，
∴∠B=90°，即AB⊥BC，又AD∥BC．
∴PQ=AB=

3

．
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠PFQ=60°．
在Rt△PQF中sin60°=

3

PF

，
∴PF=2．
∴△PEF的邊長為2．

（2）方法一：△ABC∽△CDA．
理由：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∴∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△CDA．
方法二：△APH∽△CFH．
理由：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠2=∠1，
又∵∠3=∠4，
∴△APH∽△CFH．

（3）猜想：PH與BE的數量關系是：PH-BE=1，
證法一：在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，
∴tan∠1=

AB

BC

=

3

3

．
∴∠1=30°．
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠2=60°，PF=EF=2．
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30°．
∴∠1=∠3．
∴FC=FH．
∵PH+FH=2，BE+EF+FC=3，FC=FH，EF=2，
∴BE+FC=3-2=1，
∴PH-BE=1．
證法二：在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，
∴tan∠1=

AB

BC

=

3

3

．
∴∠1=30°．
∵△PEF是等邊三角形，PE=2，
∴∠2=∠4=∠5=60°．
∴∠6=90°．
在Rt△CEG中，∠1=30°，
∴EG=

1

2

EC，即EG=

1

2

（3-BE）．
在Rt△PGH中，∠7=30°，
∴PG=

1

2

PH．
∴PE=EG+PG=

1

2

（3-BE）+

1

2

PH=2．
∴PH-BE=1．
證法三：在Rt△ABC中，AB=

3

，BC=3，
∴tan∠1=

AB

BC

=

3

3

，AC²=AB²+BC²∴∠1=30°，AC=2

3

．
∵△PEF是等邊三角形，
∴∠4=∠5=60°．（3分）
∴∠6=∠8=90°．
∴△EGC∽△PGH，
∴

PH

EC

=

PG

EG

．
∴

PH

3-BE

=

2-EG

EG

①
∵∠1=∠1，∠B=∠6=90°，
∴△CEG∽△CAB．
∴

EG

AB

=

EC

AC

即

EG

3

=

3-BE

2 3

．
∴EG=

1

2

（3-BE）②
把②代入①得，

PH

3-BE

=

2- 1 2 (3-BE)

1 2 (3-BE)

．
∴PH-BE=1．

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定，等邊三角形的性質及矩形性質的綜合運用．