Question

如圖，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為 （2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）直接寫出該拋物線所對應的函數關系式；
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以每秒1個單位長度的速度從A點出發沿射線AB勻速移動，設它們運動的時間為t秒（t＞0），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．
①填空：當0＜t≤3時，PN=

-t²+3t

．（用含t的代數式表示）；
②在運動的過程中，以P、N、C、D為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請求出此時t的值，若不能，請說明理由．
③設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最小值？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據函數過（0，0）且其頂點為（2，4），故設函數關系式為y=a（x-2）²+4，將點（0，0）代入解析式即可求出a的值，從而的到函數解析式；
（2）①根據解析式求出N的縱坐標，減去P的縱坐標即可求出PN的表達式；②由于PN∥CD，可知點P運動到PN=CD=3時，四邊形PNCD即成為平行四邊形．當t＞3時，PN=t²-3t，轉化為方程t²-3t=3，求出函數解析式即可．
（3）（i）當PN=0，即t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，求出三角形的高即可；（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形，轉化為二次函數最值問題解答．

解答：解：（1）設所求函數關系式為y=a（x-2）²+4，
把（0，0）代入解析式得a（0-2）²+4=0，
解得，a=-1，
故函數解析式為y=-（x-2）²+4，
整理得y=-x²+4x．

（2）①∵N點縱坐標為-x²+4x，當x=t時，
AN=-t²+4t，
則PN=AN-AP=-t²+4t-t=-t²+3t．
②能成為平行四邊形． 理由如下：
∵PN∥CD，
∴點P運動到PN=CD=3時，四邊形PNCD即成為平行四邊形．
∵點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，
∴OA=AP=t．
∴點P，N的坐標分別為（t，t）、（t，-t²+4t），
當0＜t≤3時，PN=-t²+3t，
∴-t²+3t=3．
此方程沒有實數根．
當t＞3時，PN=t²-3t，
∴t²-3t=3．
解得，t₁=

3+ 21

2

，t₂=

3- 21

2

（舍去）．
∴以P、N、C、D為頂點的四邊形能成為平行四邊形，此時，t=

3+ 21

2

．
③S存在最小值． 理由如下：
（ⅰ）當PN=0，即t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，
∴S=

1

2

DC•AD=

1

2

×3×2=3．
（ⅱ）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形．
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴當0＜t＜3時，S=

1

2

（CD+PN）•AD
=

1

2

[3+（-t²+3 t）]×2
=-t²+3 t+3
=-（t-

3

2

）²+

21

4

，其中（0＜t＜3），
由a=-1，0＜

3

2

＜3，
此時S_最大=

21

4

．
當t=3時，S_最小=3．
∴當t＞3時，S=

1

2

（CD+PN）•AD
=

1

2

[3+（t²-3 t）]×2
=t²-3t+3
=（t-

3

2

）²+

3

4

．
∴當t=3時，S_最小=3．
綜上所述，當t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積有最小值，
這個最小值為3．

點評：本題考查了二次函數綜合題，涉及動點問題、二次函數最值、平行四邊形的判定與性質等問題，難度較大，是一道好題．