Question

【題目】如圖，在中，，且點的坐標為，點坐標為，點在軸的負半軸上，拋物線經過點和點

求，的值；

在拋物線的對稱軸上是否存在點，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由

點是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，交于點，探究：當點在什么位置時，四邊形是平行四邊形，此時，請判斷四邊形的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）符合題意的點的坐標為：；；；，；（3）四邊形是梯形，理由見解析.

【解析】

（1）直接利用待定系數法求出拋物線解析式得出即可；

（2）利用當AQ=QC，以及當AC=Q1C時，當AC=CQ2=2時，當AQ3=AC=2時，分別得出符合題意的答案即可；

（3）利用平行四邊形的性質首先得出BC的長，進而表示出線段ME的長，進而求出答案，再利用梯形的判定得出答案．

∵點的坐標為，點坐標為，點在軸的負半軸上，拋物線經過點和點，

∴，

解得：；

在拋物線的對稱軸上存在點，使得為等腰三角形，

當，如圖，

由得：，

即拋物線對稱軸為：直線，則，，

∵，，

∴，

∴，

∴；

當時，過點作直線，于一點，

則，

∵，，

∴，

∴，

∴，故的坐標為：；

當時，由的坐標可得；；

當時，則，故，根據對稱性可知（和關于軸對稱）也符合題意，

綜上所述：符合題意的點的坐標為：；；；，；

如圖所示，當四邊形是平行四邊形，則，

∵，且點的坐標為，點坐標為，

∴，

則，

設直線的解析式為：，

故，

解得：，

故直線的解析式為：，

設，，

故，

解得：（不合題意舍去），，

故點在，此時四邊形是平行四邊形；

四邊形是梯形，

理由：∵四邊形是平行四邊形，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴是等邊三角形，

∵，，

∴四邊形是梯形．