Question

【題目】如圖，在ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分∠ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AE是角平分線，

∴∠DAE=∠BAE．

∴∠BAE=∠AEB．

∴AB=BE．

同理AB=AF．

∴AF=BE．

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵AB=BE，

∴四邊形ABEF是菱形．

（2）解：作PH⊥AD于H，

∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，

∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，

∴AP= AB=2，

∴PH= ，DH=5，

∴tan∠ADP= = ．

【解析】（1）根據平行四邊形的性質得出AD∥BC，根據平行線的性質得出∠DAE=∠AEB，根據角平分線的定義及等量代換得∠BAE=∠AEB，根據等角對等邊得出AB=BE．同理AB=AF．故AF=BE．進而根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得出結論；
（2）作PH⊥AD于H根據菱形的性質得出AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，根據含30角的直角三角形的邊之間的關系得出AP的長，進而根據銳角三角函數的定義得出結論。
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．