Question

【題目】規定：如果一個三角形的三個角分別等于另一個三角形的三個角，那么稱這兩個三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原來三角形是“等角三角形”，我們把這條線段叫做這個三角形的“等角分割線”．

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，請寫出圖中兩對“等角三角形”．

（2）如圖2，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°。求證：CD為△ABC的等角分割線．

（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割線，若△ACD是等腰三角形，請直接寫出∠ACB的度數．

Answer 1

【答案】（1）△ABC與△ACD，△ABC與△BCD等；（2）見解析；（3）84°或111°

【解析】

（1）結合題意，由三角形內角和定理，根據“等角三角形”的定義解答；
（2）根據三角形內角和定理求出∠ACB，根據角平分線的定義得到∠ACD=∠DCB=∠ACB=40°，根據“等角三角形”的定義證明；
（3）分△ACD是等腰三角形，DA=DC、DA=AC和△BCD是等腰三角形，DB=BC、DC=BD四種情況，根據等腰三角形的性質、三角形內角和定理計算．

解：（1）因為∠A=∠A，∠ACB=∠ADC，根據三角形內角和可得∠ACD=∠B，故△ABC與△ACD是“等角三角形”； 因為∠B=∠B，∠ACB=∠BDC，根據三角形內角和可得∠DCB=∠A，故△ABC與△BCD是“等角三角形”； 因為∠ACD=∠B，∠ADC=∠BDC，∠DCB=∠A，故△ACD與△BCD是“等角三角形”.

（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°

∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°

∵CD為角平分線，

∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，

∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，

∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，

∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，

∴∠BDC＝∠ACB，

∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，

∴CD為△ABC的等角分割線；

（3）有三種情況.①當DA＝DC時，∠ACD＝∠A＝42°，

∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，

②當DA＝AC時，∠ACD＝∠ADC＝69°，

∠BCD＝∠A＝42°，

∴∠ACB＝69°+42°＝111°，

③當AC＝DC時，∠ADC＝∠A＝42°，

∴∠BDC＝180°－42°＝138°＝∠ACB,

此時∠B＝180°－42°－138°＝0°,舍去.

∴∠ACB的度數為84°或111°．