Question

【題目】已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB邊上的一點，將∠B沿著過點D的直線折疊，使點B落在AC邊的點P處（不與點A，C重合），折痕交BC邊于點E．

（1）特例感知 如圖1，若∠C＝60°，D是AB的中點，求證：AP＝AC；

（2）變式求異 如圖2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，過點D作DH⊥AC于點H，求DH和AP的長；

（3）化歸探究 如圖3，若m＝10，AB＝12，且當AD＝a時，存在兩次不同的折疊，使點B落在AC邊上兩個不同的位置，請直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），4或3；（3）6≤a＜.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，運用等邊三角形內角都為60°以及三邊相等進行求解．

（2）根據相似三角形的性質，運用對應邊成比例以及勾股定理進行求解．

（3）根據三角函數以及三線合一性質，運用勾股定理以及比例關系進行求解．

（1）證明：∵AC＝BC，∠C＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AC＝AB，∠A＝60°，

由題意，得DB＝DP，DA＝DB，

∴DA＝DP，

∴△ADP使得等邊三角形，

∴AP＝AD＝AB＝AC．

（2）解：∵AC＝BC＝6，∠C＝90°，

∴AB＝＝＝12，

∵DH⊥AC，

∴DH∥BC，

∴△ADH∽△ABC，

∴＝，

∵AD＝7，

∴＝，

∴DH＝，

將∠B沿過點D的直線折疊，

情形一：當點B落在線段CH上的點P1處時，如圖2﹣1中，

∵AB＝12，

∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，

∴HP1＝＝＝，

∴A1＝AH+HP1＝4，

情形二：當點B落在線段AH上的點P2處時，如圖2﹣2中，

同法可證HP2＝，

∴AP2＝AH﹣HP2＝3，

綜上所述，滿足條件的AP的值為4或3．

（3）如圖3中，過點C作CH⊥AB于H，過點D作DP⊥AC于P．

∵CA＝CB，CH⊥AB，

∴AH＝HB＝6，

∴CH＝＝＝8，

當DB＝DP時，設BD＝PD＝x，則AD＝12﹣x，

∵tanA＝＝，

∴＝，

∴x＝，

∴AD＝AB﹣BD＝，

觀察圖形可知當6≤a＜時，存在兩次不同的折疊，使點B落在AC邊上兩個不同的位置．