Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2+2xa+c經過A（﹣4，0），B（0，4）兩點，與x軸交于另一點C，直線y=x+5與x軸交于點D，與y軸交于點E．

（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是第二象限拋物線上的一個動點，連接EP，過點E作EP的垂線l，在l上截取線段EF，使EF=EP，且點F在第一象限，過點F作FM⊥x軸于點M，設點P的橫坐標為t，線段FM的長度為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，過點E作EH⊥ED交MF的延長線于點H，連接DH，點G為DH的中點，當直線PG經過AC的中點Q時，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣4，0），B（0，4）代入y=ax2+2xa+c得 ，解得 ，

所以拋物線解析式為y=﹣ x2﹣x+4

（2）

解：如圖1，分別過P、F向y軸作垂線，垂足分別為A′、B′，過P作PN⊥x軸，垂足為N，

由直線DE的解析式為：y=x+5，則E（0，5），

∴OE=5，

∵∠PEO+∠OEF=90°，∠PEO+∠EPA′=90°，

∴∠EPA′=∠OEF，

∵PE=EF，∠EA′P=∠EB′F=90°，

∴△PEA′≌△EFB′，

∴PA′=EB′=﹣t，

則d=FM=OB′=OE﹣EB′=5﹣（﹣t）=5+t

（3）

解：如圖2，由直線DE的解析式為：y=x+5，

∵EH⊥ED，

∴直線EH的解析式為：y=﹣x+5，

∴FB′=A′E=5﹣（﹣ t2﹣t+4）= t2+t+1，

∴F（ t2+t+1，5+t），

∴點H的橫坐標為： t2+t+1，

y=﹣ t2﹣t﹣1+5=﹣ t2﹣t+4，

∴H（ t2+t+1，﹣ t2﹣t+4），

連接PH交y軸于A′，

∴P與H的縱坐標相等，

∴PH∥x軸，

∴∠HPQ=∠PQD，∠PGH=∠QGD，

∵DG=GH，

∴△PGH≌△QGD，

∴PH=DQ，

∵A（﹣4，0），C（2，0），

∴Q（﹣1，0），

∵D（﹣5，0），

∴DQ=PH=4，

∴﹣t+ t2+t+1=4，

t=± ，

∵P在第二象限，

∴t＜0，

∴t=﹣ ，

∴F（4﹣ ，5﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系數法求二次函數的解析式；（2）如圖1，作輔助線構建兩個直角三角形，利用斜邊PE=EF和兩角相等證兩直角三角形全等，得PA′=EB′，則d=FM=OE﹣EB′代入列式可得結論，但要注意PA′=﹣t；（3）如圖2，根據直線EH的解析式表示出點F的坐標和H的坐標，發現點P和點H的縱坐標相等，則PH與x軸平行，證明△PGH≌△QGD，得PH=DQ=4，列式可得t的值，求出t的值并取舍，計算出點F的坐標．也可以利用線段中點公式求出結論．