Question

【題目】已知：如圖，矩形ABCD中AB=4，AD=12，點P是線段AD上的一動點（點P不與點A，D重合），點Q是直線CD上的一點，且PQ⊥BP，連接BQ，設AP=x，DQ=y．

（1）求證：△ABP∽△DPQ．

（2）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍．

（3）并求出當y取何值，△ABP∽△PBQ．

（4）若點Q在DC的延長線上，則x的取值范圍　 　．（不必寫出過程）．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）y=3x﹣(0＜x＜12） （3）當y=9時．△ABP∽△PBQ （4）6﹣2＜x＜6+2

【解析】分析：（1）根據四邊形ABCD是矩形和PQ⊥BP，利用兩組對應角相等即可求證△ABP∽△DPQ．

（2）根據△ABP∽△DPQ．利用其對應邊成比例，將已知數值代入即可得出y與x的函數關系式．根據（點P不與點A，D重合），即可求出自變量x的取值范圍．

（3）假設△ABP∽△PBQ．利用其對應邊成比例，解得x的值，然后將x的值代入y=3x﹣即可．

（4）根據Q在DC的延長線上可知y＞4，即3x﹣＞4，解此方程即可得出則x的取值范圍．

詳解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，

∴∠ABP+∠APB=90°，∠PQD+∠QPD=90°．

∵PQ⊥BP，∴∠DPQ+∠APB=90°

∴∠APB=∠PQD，∴△ABP∽△DPQ；

（2）∵△ABP∽△DPQ，∴=．

∵AB=4，AD=12

∴=，即y=3x﹣．

∵AP與AD不重合，∴0＜x＜12；

答：y與x的函數關系式為：y=3x﹣；

自變量x的取值范圍是：0＜x＜12；

（3）假設△ABP∽△PBQ，則=，即=，

將y=3x﹣代入上式，解得：x=6．

將x=6代入y=3x﹣，解得：y=9．

答：當y=9時，△ABP∽△PBQ；

（4）∵Q在DC的延長線上，∴y＞4，即3x﹣＞4，解此方程得6﹣2＜x＜6+2．

故答案為：6﹣2＜x＜6+2．