Question

【題目】如圖，⊙O的半徑為2，弦BC=2，點A是優弧BC上一動點（不包括端點），△ABC的高BD、CE相交于點F，連結ED．下列四個結論：

①∠A始終為60°；

②當∠ABC=45°時，AE=EF；

③當△ABC為銳角三角形時，ED=；

④線段ED的垂直平分線必平分弦BC．

其中正確的結論是_____．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】分析：①延長CO交⊙O于點G，如圖1．在Rt△BGC中，運用三角函數就可解決問題；②只需證到△BEF≌△CEA即可；③易證△AEC∽△ADB，則，從而可證到△AED∽△ACB，則有．由∠A=60°可得到，進而可得到ED=；④取BC中點H，連接EH、DH，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EH=DH=BC，所以線段ED的垂直平分線必平分弦BC．

詳解：①延長CO交⊙O于點G，如圖1．

則有∠BGC=∠BAC．

∵CG為⊙O的直徑，∴∠CBG=90°．

∴sin∠BGC=．

∴∠BGC=60°．

∴∠BAC=60°．

故①正確．

②如圖2，

∵∠ABC=45°，CE⊥AB，即∠BEC=90°，

∴∠ECB=45°=∠EBC．

∴EB=EC．

∵CE⊥AB，BD⊥AC，

∴∠BEC=∠BDC=90°．

∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°．

∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF．

在△BEF和△CEA中，

，

∴△BEF≌△CEA．

∴AE=EF．

故②正確．

③如圖3，

∵∠AEC=∠ADB=90°，∠A=∠A，

∴△AEC∽△ADB．

∴．

∵∠A=∠A，

∴△AED∽△ACB．

∴．

∵cosA==cos60°=，

∴．

∴ED=BC=．

故③正確．

④取BC中點H，連接EH、DH，如圖3、圖4．

∵∠BEC=∠CDB=90°，點H為BC的中點，

∴EH=DH=BC．

∴點H在線段DE的垂直平分線上，

即線段ED的垂直平分線平分弦BC．

故④正確．

故答案為：①②③④．