Question

【題目】如圖，已知點P為∠ACB平分線上的一點，∠ACB=60°，PD⊥CA于D，PE⊥CB于E，點M是線段CP上的一動點(不與兩端點C，P重合)，連接DM，EM.

(1)求證:DM=EM;

(2)當點M運動到線段CP的什么位置時，四邊形PDME為菱形，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) 當點M運動到線段CP的中點時，四邊形PDME為菱形，理由見解析.

【解析】

利用角平分線上的點到角的兩邊距離相等得到PD=PE，再根據 Rt△PCD≌Rt△PCE，得到CD=CE，即可證得△DCM≌△ECM，從而得到DM=EM；

首先當點M運動到線段CP的中點時，四邊形PDME為菱形，由(1)得DM=EM，PD=PE，再根據M為PC的中點，PD⊥CA和直角三角形PDC，證得DM=PD，即可得到PD=PE=EM=DM，然后證得P四邊形PDME為菱形.

(1)∵PC平分∠ACB，

PD⊥CA，PE⊥CB，

∴PD=PE.

∴Rt△PCD≌Rt△PCE，

∴CD=CE.

在△DMC和△EMC中，

，

∴△DCM≌△ECM，

∴DM=EM.

(2)當點M運動到線段CP的中點時，四邊形PDME為菱形.

理由如下:

∵M為PC的中點，PD⊥CA，

∴DM=PC，

在直角三角形PDC中.

∵∠ACB=60°，

∴∠PCD=30°，

∴PD=PC，

∴DM=PD.

由(1)得DM=EM，PD=PE，

∴PD=PE=EM=DM，

∴四邊形PDME為菱形.