Question

如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點F（16，0）、與y軸正半軸交于點E（0，16），邊長為16的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點F重合；

（1）求拋物線的函數表達式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q（運動時，點P不與A、B兩點重合，點Q不與C、D兩點重合）。
設點A的坐標為（m，n）（m>0）。
①當PO=PF時，分別求出點P和點Q的坐標；
②在①的基礎上，當正方形ABCD左右平移時，請直接寫出m的取值范圍；
③當n=7時，是否存在m的值使點P為AB邊中點。若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）由拋物線y=ax²+c經過點E（0，16）、F（16，0）得：，解得a=-，c=16，
∴y=-x²+16；
（2）①過點P做PG⊥x軸于點G，
∵PO=PF，
∴OG=FG，
∵F（16，0），
∴OF=16，
∴OG=OF=×16=8，即P點的橫坐標為8，
∵P點在拋物線上，
∴y=-×8²+16=12，即P點的縱坐標為12，
∴P（8，12），
∵P點的縱坐標為12，正方形ABCD邊長是16，
∴Q點的縱坐標為-4，
∵Q點在拋物線上，
∴-4=-x²+16，
∴x₁=，x₂=-，
∵m>0，
∴x₂=-（舍去），
∴x=，
∴Q（，-4）；
②-16<m<8;
③不存在；
理由：當n=7時，則P點的縱坐標為7，
∵P點在拋物線上，∴7=，
∴x₁=12，x₂=-12，
∵m>0，∴x₂=-12（舍去），
∴x=12，
∴P點坐標為（12，7），
∵P為AB中點，
∴AP=AB=8，
∴點A的坐標是（4，7），
∴m=4，
又∵正方形ABCD邊長是16，
∴點B的坐標是（20，7），點C的坐標是（20，-9），
∴點Q的縱坐標為-9，
∵Q點在拋物線上，
∴-9=-x²+16，
∴x₁=20，x₂=-20，
∵m>0，
∴x₂=-20（舍去），x=20，
∴Q點坐標（20，-9），
∴點Q與點C重合，這與已知點Q不與點C重合矛盾，
∴當n=7時，不存在這樣的m值使P為AB邊的中點。