Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)0是對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，且DE=2CE，連接BE．過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，則OF的長(zhǎng)為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：在BE上截取BG=CF，連接OG，如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD=3，∠BCD=∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，OB=OC，

∵Rt△BCE中，CF⊥BE，

∴∠EBC=∠ECF，

∴∠OBG=∠OCF，

在△OBG與△OCF中， ，

∴△OBG≌△OCF（SAS），

∴OG=OF，∠BOG=∠COF，

∴OG⊥OF，

在Rt△BCE中，BC=DC=3，DE=2CE，

∴CE=1，

∴BE= = = ，

根據(jù)射影定理得：BC2=BFBE，

則32=BF ，解得：BF= ，

∴EF=BE﹣BF= ，

∵CF2=BFEF，

∴CF= ，

∴GF=BF﹣BG=BF﹣CF= ，

在等腰直角△OGF中，OF2= GF2= ，

∴OF= ．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了勾股定理的概念和正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．