Question

（本題滿分12分） 已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．

（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證；

（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論；

（3）如圖③，若BA=BC=2，DA=DC=，∠BAD＝90°，DE⊥CF，試求的值．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）當∠B+∠EGC＝180°時，成立；理由詳見解析；（3）.

【解析】

試題分析：（1）應用相似三角形的判定方法證得△ADE∽△DCF，應用相似三角形的性質得到比例式；

（2）在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，可以證得△ADE∽△DCM，得到比例式；

（3）過點C作CH⊥AD于H，可證△ADE∽△HCF，可以證得．

試題解析：【解析】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°，

∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，

∴．

（2）當∠B+∠EGC＝180°時，成立.

證明如下： 在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM．

∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，

∵∠B+∠EGC＝180°，

∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．

∴△ADE∽△DCM，

∴，即．

（3）過點C作CH⊥AD于H，可證△ADE∽△HCF，

∴．

考點：相似三角形的判定和性質.

考點分析： 考點1：圖形的相似 形狀相同，大小不同的兩個圖形相似 試題屬性

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