Question

【題目】如圖，已知△ABC中AB＝AC，在AC上有一點D，連接BD，并延長至點E，使AE＝AB．

（1）畫圖：作∠EAC的平分線AF，AF交DE于點F（用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）的條件下，連接CF，求證：∠ABE＝∠ACF；

（3）若AC＝8，∠E＝15°，求三角形ABE的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）16.

【解析】

（1）以點A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AC、AE相交，然后以這兩點為圓心，以大于它們長度為半徑畫弧，兩弧相交于一點，過點A與這一點作出射線與BE的交點即為所求的點F；

（2）求出AE＝AC，根據角平分線的定義可得∠EAF＝∠CAF，再利用“邊角邊”證明△AEF和△ACF全等，根據全等三角形對應角相等可得∠ABE＝∠ACF；

（3）作高線EG，根據三角形的外角性質得∠EAG＝30°，根據直角三角形的性質可得高線EG＝4，根據三角形面積公式可得結論．

（1）解：如圖所示；

（2）證明：∵AB＝AC，AE＝AB，

∴AE＝AC，

∵AF是∠EAC的平分線，

∴∠EAF＝∠CAF，

在△AEF和△ACF中，

，

∴△AEF≌△ACF（SAS），

∴∠E＝∠ACF，

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠E，

∴∠ABE＝∠ACF．

（3）解：如圖，過E作EG⊥AB，交BA的延長線于G，

∵AB＝AC＝AE＝8，

∴∠ABE＝∠AEB＝15°，

∴∠GAE＝∠ABE+∠AEB＝30°，

∴EG＝AE＝4，

∴三角形ABE的面積＝＝＝16．