Question

【題目】在平面直角坐標系中，O為原點，點A（﹣2，0），點B（0，2），點E，點F分別為OA，OB的中點．若正方形OEDF繞點O順時針旋轉，得正方形OE′D′F′，記旋轉角為α．

（1）如圖②，當α=135°時，求AE′，BF′的長；

（2）如圖③，當0°﹤α﹤180°時， AE′和BF′有什么位置關系；

（3）若直線AE′與直線BF′相交于點P，求點P的縱坐標的最大值（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）AE′,BF′的長都等于；

（2）AE′⊥BF′；

（3）點P的縱坐標的最大值為+12.

【解析】試題分析：（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的長（2）運用全等三角形的判定與性質、三角形的外角性質就可解決問題．（3）首先找到使點P的縱坐標最大時點P的位置（點P與點D′重合時），然后運用勾股定理及30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識即可求出點P的縱坐標的最大值．

試題解析：(Ⅰ)當α=90時,點E′與點F重合，如圖①。

∵點A(2,0)點B(0,2)，

∴OA=OB=2.

∵點E，點F分別為OA，OB的中點，

∴OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點O順時針旋轉90°得到的，

∴OE′=OE=1,OF′=OF=1.

在Rt△AE′O中，

AE′===.

在Rt△BOF′中，

BF′===.

∴AE′,BF′的長都等于.

(Ⅱ)當α=135°時,如圖②。

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點O順時針旋轉135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°.

在△AOE′和△BOF′中，

，

∴△AOE′≌△BOF′(SAS).

∴AE′=BF′,且∠OAE′=∠OBF′.

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°

∴AE′⊥BF′.

(Ⅲ)∵∠BPA=∠BOA=90°，

∴點P、B. A.O四點共圓，

∴當點P在劣弧OB上運動時，點P的縱坐標隨著∠PAO的增大而增大。

∵OE′=1，

∴點E′在以點O為圓心,1為半徑的圓O上運動,

∴當AP與O相切時,∠E′AO(即∠PAO)最大，

此時∠AE′O=90°,點D′與點P重合，點P的縱坐標達到最大。

過點P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖③所示。

∵∠AE′O=90°,E′O=1，AO=2，

∴∠E′AO=30°,AE′=.

∴AP=+1.

∵∠AHP=90°,∠PAH=30°，

∴PH=AP=.

∴點P的縱坐標的最大值為.