Question

【題目】如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB，垂足為點N，連接AC，點E在AB上，且AE=CE，過點B作⊙O的切線交EC的延長線于點P．

（1）求證：AC2=AEAB；

（2）試判斷PB與PE是否相等，并說明理由；

（3）設⊙O的半徑為4，N為OC的中點，點Q在⊙O上，求線段PQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）線段PQ的最小值是﹣4．

【解析】分析：（1）證明△AEC∽△ACB，列比例式可得結論；
（2）如圖2，證明∠PEB=∠COB=∠PBN，根據等角對等邊可得：PB=PE；
（3）如圖3，先確定線段PQ的最小值時Q的位置：因為OQ為半徑，是定值4，則PQ+OQ的值最小時，PQ最小，當P、Q、O三點共線時，PQ最小，先求AE的長，從而得PB的長，最后利用勾股定理求OP的長，與半徑的差就是PQ的最小值．

詳解：證明：(1)如圖1,連接BC,

∵CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，

∴=,

∴∠A=∠ABC，

∵EC=AE，

∴∠A=∠ACE，

∴∠ABC=∠ACE，

∵∠A=∠A，

∴△AEC∽△ACB，

∴

∴

(2)PB=PE，理由是：

如圖2，連接OB，

∵PB為⊙O的切線,

∴OB⊥PB，

∴

∴

∵

∴∠PBN=∠COB，

∵∠PEB=∠A+∠ACE=2∠A，

∠COB=2∠A，

∴∠PEB=∠COB，

∴∠PEB=∠PBN，

∴PB=PE；

(3)如圖3，∵N為OC的中點，

∴

Rt△OBN中,

∴

∵OC=OB，

∴△OCB為等邊三角形，

∵Q為⊙O任意一點，

連接PQ、OQ，

因為OQ為半徑，是定值4，

則PQ+OQ的值最小時，PQ最小，

當P、Q、O三點共線時，PQ最小，

∴Q為OP與⊙O的交點時，PQ最小，

∴

∴△PBE是等邊三角形，

Rt△OBN中,

∴

設AE=x,則CE=x,

Rt△CNE中,

∴

Rt△OPB中,

∴

則線段PQ的最小值是