Question

如圖，AB是半圓的直徑，O是圓心，C是AB延長線上一點，CD切半圓于D，DE⊥AB于E．已知AE：EB=4：1，CD=2，求BC的長．

Answer 1

設EB=x，則AE=4x，設CB=y
∵CD是⊙O的切線，由圓的切割線定理得出CD²=CB•CA，
即4=y（y+5x）①（2分）
∵AB是直徑，且DE⊥AB于E，
∴DE²=AE•EB=4x•x=4x²（1分）
又EC=x+y，CD=2，∠DEC=90°，
∴DE²+EC²=CD²
即4x²+（x+y）²=4④（2分）
解由①、②組成的方程組，②-①，得
5x²-3xy=0，∴x（5x-3y）=0
∴x=0（舍去）或x=

3

5

y把x=

3

5

y代入①，得
y=-1（舍去）或y=1
∴y=1
∴BC=y=1
答：BC的長為1．（3分）