Question

已知二次函數的圖象經過A（2，0）、C（0，12）兩點，且對稱軸為直線x=4，設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B。

（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N，將△PMN沿直線MN對折，得到△P₁MN，在動點M的運動過程中，設△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數關系式。

Answer 1

解：（1）設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c
由題意得
解得
∴二次函數的解析式為y=x²-8x+12，
點P的坐標為（4，-4）。
（2）存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形
理由如下：當y=0時，x²-8x+12=0
∴x₁=2，x₂=6
∴點B的坐標為（6，0）
設直線BP的解析式為y=kx+m
則
解得
∴直線BP的解析式為y=2x-12
∴直線OD∥BP
∵頂點坐標P（4， -4）
∴OP=4
設D（x，2x）
則BD²=（2x）²+（6-x）²
當BD=OP時，（2x）²+（6-x）²=32
解得：x₁=，x₂=2
當x₂=2時，OD=BP=，四邊形OPBD為平行四邊形，舍去
∴當x=時四邊形OPBD為等腰梯形
∴當D（，）時，四邊形OPBD為等腰梯形。
（3）① 當0＜t≤2時，
 ∵運動速度為每秒個單位長度，運動時間為t秒，
則MP=t
∴PH=t，MH=t，HN=t
∴MN=t
∴S=t·t·=t²；
②當2＜t＜4時，P₁G=2t-4，P₁H=t
∵MN∥OB
∴∽
∴
∴
∴=3t²-12t+12
∴S=t²-（3t²-12t+12）=-t²+12t-12
∴ 當0＜t≤2時，S=t²
當2＜t＜4時，S=-t²+12t-12。