Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=3cm，AB=4cm，AD⊥BC于D，與BD等長(zhǎng)的線段EF在邊BC上沿BC方向以1cm/s的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（運(yùn)動(dòng)前EF與BD重合），過(guò)E，F(xiàn)分別作BC的垂線交直角邊于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)EF運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（s）．
（1）若△BEP的面積為ycm²，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（2）線段EF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形PEFQ有可能成為矩形嗎？若有可能，求出此時(shí)x的值；若不可能，說(shuō)明理由；
（3）x為何值時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）證△BPE∽△ABC，得到比例式

PE

AC

=

BE

AB

，代入求出即可；
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出PE=QF，把PE和QF的值代入求出即可；
（3）由（2）求出x，再∠APQ=∠C，證△AQP∽△ABC相似，得出比例式，求出即可；

解答：解：（1）∵PE⊥BC，∠BAC=90°，
∴∠PEB=∠BAC，
∵∠B=∠B，
∴△BPE∽△ABC，
∴

PE

AC

=

BE

AB

即

PE

3

=

x

4

，
∴PE=

3

4

x，
∴y=S_△BEP=

1

2

BE•PE=

1

2

x•

3

4

x=

3

8

 x2，
即y=

3

8

 x2．
在Rt△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC
∵AB=4，AC=3，
∴BC=5，BD=

16

5

，DC=

9

5

，
∵0≤BE≤DC，
∴0≤x≤

9

5

．
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式是y=

3

8

x²，自變量x的取值范圍是0≤x≤

9

5

．

（2）有可能．
當(dāng)四邊形PEFQ是矩形時(shí)，有PE=QF，
由已知得PE=

3

4

x，
與求PE類似可求出QF=

4

3

(

9

5

-x)，
∴

3

4

x=

4

3

(

9

5

-x)，
解得x=

144

125

，
∴當(dāng)x=

144

125

時(shí)，四邊形PEFQ是矩形．

（3）分2種情形：
當(dāng)∠APQ=∠B時(shí)，△APQ∽△ABC，
且四邊形PEFQ是矩形，此時(shí)x=

144

125

，
當(dāng)∠APQ=∠C時(shí)，
由三角形面積公式得：

1

2

×AC×AB=

1

2

BC×AD，
AC=3，AB=4，BC=5，
∴AD=

12

5

，
在Rt△ADB中，AB=4，AD=

12

5

，由勾股定理得：BD=

16

5

，
∴EF=BD=

16

5

，
∴CF=5-x-

16

5

=

9

5

-x，
cos∠C=

3

5

=

CF

CQ

，
CQ=

5

3

CF=

5

3

（

9

5

-x）=3-

5

3

x，
∴AQ=3-（3-

5

3

x）=

5

3

x，
∵△AQP∽△ABC，
∴

AP

AC

=

AQ

AB

，
即

4- 5 4 x

3

=

5 3 x

4

，
解得  x=

8

5

，
∴當(dāng)x=

144

125

或

8

5

時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．