Question

如圖1，已知矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3；拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過坐標原點O和x軸上另一點E（4，0）。

（1）當x取何值時，該拋物線的最大值是多少？
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動.設(shè)它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）。
① 當時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；
② 以P、N、C、D為頂點的多邊形面積是否可能為5，若有可能，求出此時N點的坐標；若無可能，請說明理由。

Answer 1

解：（1）因拋物線經(jīng)過坐標原點O（0，0）和點E（4，0）
故可得c=0，b=4
所以拋物線的解析式為
由
得當x=2時，該拋物線的最大值是4。
（2）① 點P不在直線ME上
已知M點的坐標為（2，4），E點的坐標為（4，0），
設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b
于是得，解得
所以直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8。
由已知條件易得，當時，OA=AP=，

∵ P點的坐標不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8
∴ 當時，點P不在直線ME上。
②以P、N、C、D為頂點的多邊形面積可能為5
∵ 點A在x軸的非負半軸上，且N在拋物線上，
∴ OA=AP=t
∴ 點P，N的坐標分別為（t，t）、（t，-t²+4t）
∴AN=-t²+4t （0≤t≤3），
∴ AN-AP=（-t²+4t）-t=-t²+3t=t（3-t）≥0 ，
∴ PN=-t²+3t
（i）當PN=0，即t=0或t=3時，
以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，
此三角形的高為AD
∴S=DC·AD=×3×2=3。
（ii）當PN≠0時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是四邊形
∵ PN∥CD，AD⊥CD，
∴ S=（CD+PN）·AD=[3+（-t²+3t）]×2=-t²+3t+3
當-t²+3t+3=5時，解得t=1、2
而1、2都在0≤t≤3范圍內(nèi)，故以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為5
綜上所述，當t=1、2時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形面積為5
當t=1時，此時N點的坐標（1，3）
當t=2時，此時N點的坐標（2，4）。