Question

【題目】已知：如圖，點A、B分別是∠MON的邊OM、ON上兩點，OC平分∠MON，在∠CON的內部取一點P（點A、P、B三點不在同一直線上），連接PA、PB．

（1）探索∠APB與∠MON、∠PAO、∠PBO之間的數量關系，并證明你的結論；

（2）設∠OAP=x°，∠OBP=y°，若∠APB的平分線PQ交OC于點Q，求∠OQP的度數（用含有x、y的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°．

【解析】【試題分析】（1）分下面兩種情況進行說明；

①如圖1，點P在直線AB的右側，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，

②如圖2，點P在直線AB的左側，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，

（2）分兩種情況討論，如圖3和圖4.

【試題解析】

（1）分兩種情況：

①如圖1，點P在直線AB的右側，∠APB+∠MON+∠PAO+∠PBO=360°，

證明：∵四邊形AOBP的內角和為（4﹣2）×180°=360°，

∴∠APB=360°﹣∠MON﹣∠PAO﹣∠PBO；

②如圖2，點P在直線AB的左側，∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，

證明：延長AP交ON于點D，

∵∠ADB是△AOD的外角，

∴∠ADB=∠PAO+∠AOD，

∵∠APB是△PDB的外角，

∴∠APB=∠PDB+∠PBO，

∴∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO；

（2）設∠MON=2m°，∠APB=2n°，

∵OC平分∠MON，

∴∠AOC=∠MON=m°，

∵PQ平分∠APB，

∴∠APQ=∠APB=n°，

分兩種情況：

第一種情況：如圖3，∵∠OQP=∠MOC+∠PAO+∠APQ，即∠OQP=m°+x°+n°①

∵∠OQP+∠CON+∠OBP+∠BPQ=360°，

∴∠OQP=360°﹣∠CON﹣∠OBP﹣∠BPQ，即∠OQP=360°﹣m°﹣y°﹣n°②，

①+②得2∠OQP=360°+x°﹣y°，

∴∠OQP=180°+x°﹣y°；

第二種情況：如圖4，∵∠OQP+∠APQ=∠MOC+∠PAO，

即∠OQP+n°=m°+x°，

∴2∠OQP+2n°=2m°+2x°①，

∵∠APB=∠MON+∠PAO+∠PBO，

∴2n°=2m°+x°+y°②，

①﹣②得2∠OQP=x°﹣y°，

∴∠OQP=x°﹣y°，

綜上所述，∠OQP=180°+x°﹣y°或∠OQP=x°﹣y°．