Question

【題目】如圖，在等邊中，點，分別是，上的動點，且，交于點．

（1）如圖1，求證；

（2）點是邊的中點，連接，．

①如圖2，若點，，三點共線，則與的數量關系是 ；

②若點，，三點不共線，如圖3，問①中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明過程見詳解；（2）①；②結論成立，證明見詳解

【解析】

（1）先證明，得出對應角相等，然后利用四邊形的內角和和對頂角相等即可得出結論；

（2）①；由等邊三角形的性質和已知條件得出AM⊥BC，∠CAP＝30°，可得PB＝PC，由∠BPC＝120°和等腰三角形的性質可得∠PCB＝30°，進而可得AP＝PC，由30°角的直角三角形的性質可得PC＝2PM，于是可得結論；

②延長BP至D，使PD＝PC，連接AD、CD，根據SAS可證△ACD≌△BCP，得出AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，然后延長PM至N，使MN＝MP，連接CN，易證△CMN≌△BMP（SAS），可得CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，最后再根據SAS證明△ADP≌△NCP，即可證得結論．

（1）證明：因為△ABC為等邊三角形，所以

∵ ，∴ ，∴，

在四邊形AEPD中，∵，

∴，

∴，∴；

（2）①如圖2，∵△ABC是等邊三角形，點M是邊BC的中點，

∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，AM⊥BC，∠CAP＝∠BAC＝30°，∴PB＝PC，

∵∠BPC＝120°，∴∠PBC＝∠PCB＝30°，

∴PC＝2PM，∠ACP＝60°﹣30°＝30°＝∠CAP，

∴AP＝PC，∴AP＝2PM；

故答案為：；

②AP＝2PM成立，理由如下：

延長BP至D，使PD＝PC，連接AD、CD，如圖4所示：則∠CPD＝180°﹣∠BPC＝60°，

∴△PCD是等邊三角形，

∴CD＝PD＝PC，∠PDC＝∠PCD＝60°，

∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝AC，∠ACB＝60°＝∠PCD，

∴∠BCP＝∠ACD，

∴△ACD≌△BCP（SAS），

∴AD＝BP，∠ADC＝∠BPC＝120°，

∴∠ADP＝120°﹣60°＝60°，

延長PM至N，使MN＝MP，連接CN，

∵點M是邊BC的中點，∴CM＝BM，

∴△CMN≌△BMP（SAS），

∴CN＝BP＝AD，∠NCM＝∠PBM，

∴CN∥BP，∴∠NCP+∠BPC＝180°，

∴∠NCP＝60°＝∠ADP，

在△ADP和△NCP中，∵AD=NC，∠ADP=∠NCP，PD=PC，

∴△ADP≌△NCP（SAS），

∴AP＝PN＝2CM；