Question

【題目】如圖，是等邊的外角內部的一條射線，點關于的對稱點為，連接，，，其中、分別交射線于點，．

（1）依題意補全圖形；

（2）若，求的大小（用含的式子表示）；

（3）若，，求的長度（用，的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）60°－；（3）PB=x+2y．

【解析】

（1）根據題目要求正確畫圖即可；

（2）根據對稱得CN是AD的垂直平分線，則CA＝CD，根據等腰三角形的性質和等邊三角形的性質可得結論；

（3）作輔助線，在PB上截取PF使PF＝PC，連接CF，先證明△CPF是等邊三角形，再證明△BFC≌△DPC，則BF＝PD＝2PE，然后根據PB=PF+BF可得結論．

解：（1）如圖：

（2）∵點A與點D關于CN對稱，

∴CN是AD的垂直平分線，

∴CA=CD，

∵，

∴∠ACD=2，

∵CA=CB=CD，∠ACB=60°，

∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°+2α．

∴∠BDC=∠DBC=（180°－∠BCD）=60°－α；

（3）在PB上截取PF使PF=PC，連接CF，

設，

∵CA=CD，∠ACD=2α，

∴∠CDA=∠CAD=90°－α，

∵∠BDC=60°－α，

∴∠PDE=∠CDA－∠BDC=30°，

∴PD=2PE，

∵∠CPF=∠DPE=90°－∠PDE=60°，

∴△CPF是等邊三角形，

∴∠CPF=∠CFP=60°，

∴∠BFC=∠DPC=120°，

∴在△BFC和△DPC中，

，

∴△BFC≌△DPC，

∴BF=PD=2PE，

∴PB=PF+BF=PC+2PE=x+2y．