Question

【題目】如圖1，已知ED垂直平分BC，垂足為D，AB與EK相交于點F，連接CF．

（1）求證：∠AFE=∠CFD；

（2）如圖2．在△GMN中，P為MN上的任意一點．在GN邊上求作點Q，使得∠GQM=∠PQN，保留作圖痕跡，寫出作法并作簡要證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析．

【解析】

（1）根據垂直平分線的性質證明三角形CFB是等腰三角形，進而證明∠AFE＝∠CFD；

（2）作點P關于GN的對稱點P′，連接P′M交GN于點Q，結合（1）即可證明∠GQM＝∠PQN．

（1）∵ED垂直平分BC，

∴FC=FB，

∴△FCB是等腰三角形．

∵FD⊥BC，

由等腰三角形三線合一可知：

FD是∠CFB的角平分線，

∴∠CFD=∠BFD．

∵∠AFE=∠BFD，

∴∠AFE=∠CFD．

（2）作點P關于GN的對稱點P'，

連接P'M交GN于點Q，

點Q即為所求．

∵QP=QP'，

∴△QPP'是等腰三角形．

∵QN⊥PP'，

∴QN是∠PQP'的角平分線，

∴∠PQN=∠P'QN．

∵∠GQM=∠P'QN，

∴∠GQM=∠PQN．