Question

如圖①，在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連接PA，分別過點B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分別為E，F．
（1）求證：BE-DF=EF；
（2）如圖②，若點P在DC的延長線上，其余條件不變，則BE，DF，EF有怎樣的數量關系______（不用證明）
（3）如圖③，若點P在CD的延長線上，其余條件不變，畫出圖形，寫出此時BE，DF，EF之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵DF⊥AP，BE⊥AP，
∴∠AFD=∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
在△DAF和△ABE中

∠DAF=∠ABE ∠AFD=∠BEA AD=AB

∴△DAF≌△ABE（AAS），
∴AF=BE，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF；

（2）DF-BE=EF，
故答案為：DF-BE=EF；

（3）BE+DF=EF，
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵DF⊥AP，BE⊥AP，
∴∠AFD=∠BEA=90°，
∴∠DAF+∠BAE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠DAF=∠ABE，
在△DAF和△ABE中

∠DAF=∠ABE ∠AFD=∠BEA AD=AB

∴△DAF≌△ABE（AAS），
∴AF=BE，AE=DF，
∵AF+AE=EF，
∴BE+DF=EF．