Question

【題目】【問題情境】：
如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數．
小明的思路是：過P作PE//AB，通過平行線性質來求∠APC．

（1）按小明的思路，求∠APC的度數；
（2）【問題遷移】：
如圖2，AB//CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β，當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數量關系？請說明理由；

（3）【問題應用】：
在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AB//CD，

∴PE//AB//CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，

∴∠APE=50°，∠CPE=60°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．

（2）

解：∠APC=∠α+∠β，

理由：如圖2，過P作PE//AB交AC于E，

∵AB//CD，

∴AB//PE//CD，

∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；

（3）

解：如圖所示，當P在BD延長線上時，

∠CPA=∠α﹣∠β；

如圖所示，當P在DB延長線上時，

∠CPA=∠β﹣∠α．

【解析】（1）過P作PE∥AB，通過平行線性質可得∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°再代入∠PAB=130°，∠PCD=120°可求∠APC即可；（2）過P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【考點精析】掌握平行線的性質是解答本題的根本，需要知道兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．