Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑的⊙O與AC交于點D，E是BC的中點，連接BD，DE.

(1)若，求sinC；

(2)求證：DE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】(1)sinC＝；(2)證明見解析.

【解析】

(1)根據直徑所對的圓周角是直角得到∠ADB=90°，根據三角形的內角和得到∠ABD＋∠BAD=90°. ∠ABC=90°，得到∠C＋∠BAC=90°，根據同角的余角相等得到∠C=∠ABD.根據正弦的定義得到sin∠ABD=，即可求出sinC；

(2) 連接OD，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到DE=BE=CE，根據等腰三角形的性質得到∠EDB=∠EBD. ∠ODB=∠OBD.即可求出∠EDO=90°，即可證明.

(1)∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ABD＋∠BAD=90°.

∵∠ABC=90°，

∴∠C＋∠BAC=90°，

∴∠C=∠ABD.

∵，

∴sin∠ABD=，

∴sinC=.

(2)如圖，連接OD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠BDC=90°.

∵E為BC的中點，

∴DE=BE=CE，

∴∠EDB=∠EBD.

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD.

∵∠ABC=90°，

∴∠EDO=∠EDB＋∠ODB=∠EBD＋∠OBD=∠ABC=90°，

∴OD⊥DE.

∵OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線．