Question

【題目】如圖①，小聰在學習圓的性質時發現一個結論，△ABC內接于⊙O，AD⊥BC，則∠BAD=∠OAC．

（1）請你幫小聰證明這個結論；

（2）運用以上結論解決問題：如圖②，H為△ABC的垂心，若∠ABC的平分線BE⊥HO，⊙O的半徑為10，求弦AC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）10.

【解析】試題分析：（1）作直徑AE，連結CE，如圖①，根據圓周角定理得到 然后利用等角的余角相等即可得到結論；
（2）作直徑，延長交于，連結 如圖②，根據圓周角定理得 再根據垂心的定義得則 于是可判斷四邊形為平行四邊形，得到接著由得到 加上 所以為等腰三角形，得到 則 然后在中，利用勾股定理計算的長．

試題解析：(1)證明：作直徑AE，連結CE，如圖①，

∵AE為直徑，

∵AD⊥BC，

∵∠AEC=∠ABD，

∴∠BAD=∠EAC，

即∠BAD=∠OAC；

(2)作直徑CF，延長AH交BC于D，連結AF、BF、BH、OB，如圖②，

∵CF為直徑，

∵AH⊥BC，BH⊥AC，

∴四邊形AHBF為平行四邊形，

∴AF=BH，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

由(1)的結論得∠ABH=∠CBO，

∴∠HOE=∠OBE，

∵OH⊥BE，

∴△BOH為等腰三角形，

∴BH=OB=10，

∴AF=BH=10，

在中，∵CF=20，AF=10，