Question

【題目】（1）如圖，AE是∠MAD的平分線，點C是AE上一點，點B是AM上一點，在AD上求作一點P，使得△ABC≌△APC，請保留清晰的作圖痕跡.

（2）如圖a，在△ABC中, ∠ACB=，∠A=，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.請探究線段BC、BF、CE之間的關系，直接寫出結論，不要求證明.

（3）如圖b，若（2）中∠ACB為任意角，其它條件不變，請探究BC、BF、CE之間又有怎樣的關系，請證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）BC=BF+CE，證明見解析；（3）BC=BF+CE，證明見解析.

【解析】

（1）以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交AD于一點即可；

（2）在BC上截取BD=BF，首先證明△BFO≌△BDO，創造條件證明△COE≌△COD即可；
（3）在BC上截取BF'=BF，首先證明△BFO≌△BF'O，創造條件證明△COE≌△COF'即可．

（1）以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧交AD于一點，則此點為所要求的點P.

（2）線段BC、BF、CE之間的關系為：BC=BF+CE .

在BC上截取BD=BF.

在△BFO和△BDO中

∴△BFO≌△BDO

∴∠BOF=∠BOD

∵∠A=，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.

∴∠BOC=180О－∠ABC－∠ACB=180－60=120

∴∠BOD=∠BOF=∠COE=180－120 =60.

∠COD=∠BOC－∠BOD=120－60=60

在△COE和△COD中

∴△COE≌△COD

∴CE=CD

∴BC=BF+CE .

（3）線段BC、BF、CE之間的關系為：BC=BF+CE .

在BC上截取BF'=BF.

在△BFO和△BF'O中

∴△BFO≌△BF'O

∴∠BOF=∠BOF'

∵∠A=60，BE、CF分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，CF與BE相交于點O.

∴∠BOC=180О－∠ABC－∠ACB=180－60=120

∴∠BOF'=∠BOF=∠COE=180－120=60.

∠COF'=∠BOC－∠BOF'=120－60 =60

在△COE和△COF'中

∴△COE≌△COF'

∴CE=CF'

∴BC=BF+CE .