Question

【題目】已知，點A、B、O在數軸上對應的數為a、b、0，且滿足|a+8|+（b﹣12）2＝0，點M、N分別從O、B出發，同時向左勻速運動，M的速度為1個單位長度每秒，N的速度為3個單位長度每秒，A、B之間的距離定義為：AB＝|a﹣b|．

（1）直接寫出OA＝　 　．OB＝　 　；

（2）設運動的時間為t秒，當t為何值時，恰好有AN＝2AM；

（3）若點P為線段AM的中點，Q為線段BN的中點，M、N在運動的過程中，PQ+MN的長度是否發生變化？若不變，請說明理由，若變化，當t為何值時，PQ+MN有最小值？最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）8，12；（2）t＝4或者t＝；（3）當t＝6時，PQ+MN最小值為10．

【解析】

（1）根據絕對值和平方的非負性即可得出a+8＝0，b﹣12＝0，從而求出線段OA、OB的長；

（2）題干給出了數軸上兩點距離的表示方式，因此要求出t的值，只需要表示出AN＝2AM，則將方程接出即可；

（3）首先根據中點公式表示出P、Q兩點，然后表示出PQ+MN，再根據t的范圍去掉絕對值，最后就可以求出PQ+MN的最小值．

解：（1）∵|a+8|+（b﹣12）2＝0，

∴a+8＝0，b﹣12＝0，

∴a＝﹣8，b＝12，

∵點A、B在數軸上對應的數為a、b，

∴OA＝8，OB＝12，

故答案為：8，12；

（2）根據題意得：M點表示的數為：﹣t，N點表示的數為：12﹣3t，

則：AM＝|8﹣t|，AN＝|20﹣3t|，

∵AN＝2AM，

∴|20﹣3t|＝2|8﹣t|，

則（20﹣3t）＝±2（8﹣t），

解得：t＝4或者t＝；

（3）∵點P為線段AM的中點，則P點表示的數為：，

∵Q為線段BN的中點，Q點表示的數為：，

∴PQ＝＝|t﹣16|，

MN＝|2t﹣12|，

∴PQ+MN＝|t﹣16|+|2t﹣12|，

當t≥16時，原式＝t﹣16+2t﹣12＝3t﹣28；此時當t＝16時最小值為20，

當6≤t≤16時，原式＝16﹣t+2t﹣12＝t+4；此時當t＝6時最小值為10，

當t≤6時，原式＝16﹣t+12﹣t＝28﹣3t；此時當t＝6時最小值為10，

綜上所述當t＝6時，PQ+MN最小值為10．