Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，一次函數和的圖象相交于點A，反比例函數的圖象經過點A，反比例函數的圖象經過點．

(1)求反比例函數的表達式；

(2)直接寫出時，x的取值范圍；

(3)在x軸上是否存在點P，使△ABP為直角三角形，若存在請求出P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-；（2）x＜-8或-2＜x＜0；（3）在x軸上存在點P1（-、0）P2（0、0）使△PAB為直角三角形

【解析】

（1）聯立一次函數和，解出A點坐標，代入反比例函數解析式即可求出；

（2）聯立和y=-解出B點坐標，結合圖像即可得出答案；

（3）假設在x軸上存在P（t、0）使△PAB為直角三角形，用含t的代數式表示PA2，

PB2，AB2，然后根據勾股定理分①PA2+PB2=PC2；②PA2=PB2+PC2；③PB2=PA2+AB2三種情況討論即可．

（1）解：依題得

解得，即A（-2、4）

將A（-2、4）代入得k=-8，即反比例函數解析式為：y=-；

（2）∵

解得：或，即B（-8、1）

∴結合圖像可得當y1＜y3時，x的取值范圍是x＜-8或-2＜x＜0；

（3）如圖，假設在x軸上存在P（t、0）使△PAB為直角三角形，

∵ PA2=（t+2）2+42=t2+4t+20

PB2=(t+8)2+1=t2+16t+65

AB2=62+32=45

①PA2+PB2=PC2，即t2+4t+20+t2+16t+65=45

化簡得t2+t+1=0

此時方程無解，故此種情況不成立；

②PA2=PB2+PC2 即t2+4t+20=t2+16t+65+45

解得：t=-；

③PB2=PA2+AB2 即t2+16t+65=45+t2+4t+20

解得：t=0；

綜上所，在x軸上存在點P1（-、0），P2（0、0）使△PAB為直角三角形．