Question

【題目】如圖,已知點A的坐標為（-2，0），直線與x軸、y軸分別交于點B和點C，連接AC，頂點為D的拋物線過A、B、C三點.

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）設拋物線的對稱軸DE交線段BC于點E，P是第一象限內拋物線上一點，過點P作x軸的垂線，交線段BC于點F，若四邊形DEFP為平行四邊形，求點P的坐標.

（3）設點M是線段BC上的一動點，過點M作MN∥AB，交AC于點N，點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿線段BA向點A運動，運動時間為t（秒），當t（秒）為何值時，存在△QMN為等腰直角三角形？

Answer 1

【答案】（1）（1）B（4，O），C（0，3），拋物線的解析式為頂點D的坐標為；（2）當點P坐標為（3，）時，四邊形DEFP為平行四邊形；（3）當t為或或時，存在△QMN為等腰直角三角形．

【解析】試題分析：（1）由直線y=-+3的解析式即可得B，C兩點的坐標，再用待定系數法即可求得拋物線的解析式，根據拋物線的解析式即可得拋物線的解析式；（2）設點P坐標為則點F的坐標為（m，-m+3），根據四邊形DEFP為平行四邊形，則PF=DE，由此列方程求得m的值，即可得點P的坐標；（3）分別以點M、N、Q為直角頂點討論解決即可.

試題解析：（1）B（4，O），C（0，3）．

拋物線的解析式為

頂點D的坐標為

（2）把x=1代入

因點P為第一象限內拋物線上一點，所以可設點P坐標為

點F的坐標為（m，-m+3）．若四邊形DEFP為平行四邊形，則PF=DE

即-m2+m+3-（-m+3）=

解之，得m1=3,m2=1（不合題意，舍去）．

∴當點P坐標為（3，）時，四邊形DEFP為平行四邊形．

（3）設點M的坐標為（n，-），MN交y軸于點G．

∽BAC

①當∠Q1MN=90°，MN=MQ2=OG時，解之，MN=2．

解之，

②當時，容易求出

③當∠MQ3N=90°，Q3M=Q3N時，NM=Q3K=OG

解之，得MN=3．

解之，得n=2，即

MN的中點K的坐標為即

∴當t為或或時，存在△QMN為等腰直角三角形．