Question

【題目】如圖，AB為半圓O在直徑，AD，BC分別切⊙O于A，B兩點，CD切⊙O于點E，連接OD，OC，下列結論：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2 ， ④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DECD，正確的有（ ）

A.2個
B.3個
C.4個
D.5個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：連接OE，如圖所示：
∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，
∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，
∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，
∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確；
在Rt△ADO和Rt△EDO中， ，
∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），
∴∠AOD=∠EOD，
同理Rt△CEO≌Rt△CBO，
∴∠EOC=∠BOC，
又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，
∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項①正確；
∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，
∴△EDO∽△ODC，
∴ = ，即OD2=DCDE，選項⑤正確；
∵∠AOD+∠COB=∠AOD+∠ADO=90°，
∠A=∠B=90°，
∴△AOD∽△BOC，
∴ = = = ，選項③正確；
同理△ODE∽△OEC，
∴ ，選項④錯誤；
故選C．

連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據切線的性質得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項①正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DECD，選項⑤正確；由△AOD∽△BOC，可得 = = = ，選項③正確；由△ODE∽△OEC，可得 ，選項④錯誤．