Question

（2013•順義區一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與y軸交于點A，且經過B（1，0），C（5，8）兩點，點D是拋物線頂點，E是對稱軸與直線AC的交點，F與E關于點D對稱．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求證：∠AFE=∠CFE；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△AFP與△FDC相似？若有，請求出所有符合條件的點P的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線過B、C兩點，而且兩點的坐標都已得出，可用待定系數法來求函數的解析式；
（2）由（1）可得拋物線頂點D（2，-1），直線AC的解析式為y=x+3，由E是對稱軸與直線AC的交點，可得E點坐標，由F與E關于點D對稱，可得F點坐標，從點A、C分別向對稱軸作垂線AM、CN，交對稱軸于M、N，通過證明Rt△FAM∽Rt△FCN，根據相似三角形的性質即可求解；
（3）在△FDC中，三內角不等，且∠CDF為鈍角，分兩種情況：①若點P在點F下方時，②若點P在點F上方時，討論即可求解．

解答：解：（1）將點B（1，0），C（5，8）代入y=ax²+bx+3得

a+b+3=0 25a+5b+3=8

，
解得

a=1 b=-4

，
所以拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）由（1）可得拋物線頂點D（2，-1），
直線AC的解析式為y=x+3，
由E是對稱軸與直線AC的交點，則E（2，5），
由F與E關于點D對稱，則F（2，-7），
證法一：從點A、C分別向對稱軸作垂線AM、CN，交對稱軸于M、N，
在Rt△FAM和Rt△FCN中
∠AMF=∠CNF=90°，

AM

MF

=

2

10

=

1

5

=

3

15

=

CN

NF

所以Rt△FAM∽Rt△FCN，
所以∠AFE=∠CFE；
證法二：直線AF的解析式為y=-5x+3，
點C（5，8）關于對稱軸的對稱點是Q（-1，8），
將點Q（-1，8）代入y=-5x+3，可知點Q在直線AF上，
所以∠AFE=∠CFE；

（3）在△FDC中，三內角不等，且∠CDF為鈍角
①若點P在點F下方時，
在△AFP中，∠AFP為鈍角
因為∠AFE=∠CFE，∠AFE+∠AFP=180°，∠CFE+∠CDF＜180°，
所以∠AFP和∠CDF不相等
所以，點P在點F下方時，兩三角形不能相似 
②若點P在點F上方時，
由∠AFE=∠CFE，要使△AFP與△FDC相似
只需

AF

CF

=

PF

DF

（點P在DF之間）或

AF

DF

=

PF

CF

（點P在FD的延長線上）
解得點P的坐標為（2，-3）或（2，19）．

點評：主要考查待定系數法、方程、函數及三角形相似等知識，考查綜合運用數學知識、分析問題、解決問題的能力，考查數形結合、分類討論的思想．此題是一道以函數為背景的綜合壓軸題，第1、2兩個小題較為容易，上手很輕松，第3小題中很容易看出要討論相似三角形的對應頂角，想提醒大家的是在中考中應該對可能的情況進行逐一討論，才能盡量防止漏解．