Question

如圖，矩形OABC中，點O為原點，點A的坐標為（0，8），點C的坐標為（6，0）．拋物線y=-x²+bx+c經過A、C兩點，與AB邊交于點D．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）點P為線段BC上一個動點（不與點C重合），點Q為線段AC上一個動點，AQ=CP，連接PQ，設CP=m，△CPQ的面積為S．
①求S關于m的函數表達式，并求出m為何值時，S取得最大值；
②當S最大時，在拋物線y=-x²+bx+c的對稱軸l上若存在點F，使△FDQ為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-x²+bx+c，即可求得拋物線的解析式；
（2）①先用m 表示出QE的長度，進而求出三角形的面積S關于m的函數，化簡為頂點式，便可求出S的最大值；
②直接寫出滿足條件的F點的坐標即可，注意不要漏寫．
解答：解：（1）將A、C兩點坐標代入拋物線y=-x²+bx+c，
，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+8；

（2）①∵OA=8，OC=6
∴AC==10，
過點Q作QE⊥BC與E點，則sin∠ACB===，
∴=，
∴QE=（10-m），
∴S=•CP•QE=m×（10-m）=-m²+3m=-（m-5）²+，
∴當m=5時，S取最大值；
②在拋物線對稱軸l上存在點F，使△FDQ為直角三角形，
∵拋物線的解析式為y=-x²+x+8的對稱軸為x=，
D的坐標為（3，8），Q（3，4），
當∠FDQ=90°時，F₁（，8），
當∠FQD=90°時，則F₂（，4），
當∠DFQ=90°時，設F（，n），
則FD²+FQ²=DQ²，
即+（8-n）²++（n-4）²=16，
解得：n=6±，
∴F₃（，6+），F₄（，6-），
滿足條件的點F共有四個，坐標分別為
F₁（，8），F₂（，4），F₃（，6+），F₄（，6-）．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法拋物線的最值等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．