Question

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，∠A=60°，CD是邊AB上的中線，直線BM∥AC，E是邊CA延長線上一點，ED交直線BM于點F，將△EDC沿CD翻折得△E′DC，射線DE′交直線BM于點G．
（1）如圖1，當CD⊥EF時，求BF的值；
（2）如圖2，當點G在點F的右側時；
①求證：△BDF∽△BGD；
②設AE=x，△DFG的面積為y，求y關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）如果△DFG的面積為，求AE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠ACB=90°，AD=BD，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD，再由∠BAC=60°，得到三角形ADC為等邊三角形，由AC的長求出AD與BD的長，同時求出∠ABC=30°，由BM與AC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到∠MBC=∠ACB=90°，再由CD垂直于EF，得到∠CDE和∠CDF都為直角，在直角三角形EDC中，求出∠DEC為30°，利用兩直線平行內錯角相等可得出∠BFD也為30°，而由∠CDE-∠CDA求出∠EDA為30°，利用對頂角相等得到∠BDF為30°，即∠BFD=∠BDF，利用等角對等邊可得出BD=BF，由BD的長即可求出BF的長；
（2）當點G在點F的右側時，如圖2所示，①由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行，得到CE′∥AB，再由兩直線平行得到一對內錯角相等，利用等量代換得到∠BDG=∠BFD，再由一對公共角，利用兩對應角相等的兩三角形相似可得出△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD得比例，將各自的值代入即可列出y與x的函數關系式，求出x的范圍即可；
（3）分兩種情況考慮：（i）當點G在點F的右側時，在y與x的關系式中，令y=6列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AE的長；（ii）當點G在點F的左側時，如圖3所示，列出此時y與x的關系式，令y=6列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AE的長，綜上，得到所有滿足題意的AE的長．
解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AD=BD，
∴CD=AD=BD，
∵∠BAC=60°，
∴∠ADC=∠ACD=60°，∠ABC=30°，AD=BD=AC，
∵AC=4，
∴AD=BD=AC=4，
∵BM∥AC，
∴∠MBC=∠ACB=90°，
又∵CD⊥EF，
∴∠CDF=90°，
∴∠BDF=30°，
∴∠BFD=30°，
∴∠BDF=∠BFD，
∴BF=BD=4；

（2）①證明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60°，
∴∠ADC=∠E′CD，
∴CE′∥AB，
∴∠CE′D=∠BDG，
∵BM∥AC，
∴∠CED=∠BFD，
又∵∠CE′D=∠CED，
∴∠BDG=∠BFD，
∵∠DBF=∠GBD，
∴△BDF∽△BGD；
②由△BDF∽△BGD，得=，
∵D為AB的中點，
∴BD=AD，
又∵BM∥AC，
∴∠DBF=∠DAE，∠BFD=∠DEA，
在△BFD和△AED中，
∵，
∴△BFD≌△AED（AAS），
∴BF=AE=x，
∴=，
∴BG=，
在Rt△ABC中，AB=8，AC=4，
根據勾股定理得：BC==4，
∵點D到直線BM的距離d=BC=2，
∴S_△DFG=FG•d=（BG-BF）•d，即y=×（-x）×2=-x（0＜x＜4）；

（3）（i）當點G在點F的右側時，
由題意，得6=-x，
整理，得x²+6x-16=0，
解得x₁=2，x₂=-8（不合題意，舍去）；
（ii）當點G在點F的左側時，如圖3所示：

同理得到S_△DFG=FG•d=（BF-BG）•d，即y=x-（x＞4），
由題意，得6=x-，
整理，得x²-6x-16=0，
解得x₃=8，x₄=-2（不合題意，舍去），
綜上所述，AE的值為2或8．
點評：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線性質，折疊的性質，平行線的判定與性質，以及等腰三角形的判定與性質，利用了數形結合及分類討論的思想，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．