Question

【題目】探索發(fā)現(xiàn)：
如圖1，已知直線l1∥l2 ， 且l3和l1、l2分別相交于A、B兩點(diǎn)，l4和l1、l2分別交于C、D兩點(diǎn)，∠ACP記作∠1，∠BDP記作∠2，∠CPD記作∠3．點(diǎn)P在線段AB上．

（1）若∠1=20°，∠2=30°，請你求出∠3的度數(shù)．
（2）請你根據(jù)上述問題，請你找出圖1中∠1、∠2、∠3之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論．
（3）應(yīng)用（2）中的結(jié)論解答下列問題：如圖2，點(diǎn)A在B的北偏東 40°的方向上，在C的北偏西45°的方向上，請你根據(jù)上述結(jié)論直接寫出∠BAC的度數(shù)．
拓展延伸：
（4）如果點(diǎn)P在直線l3上且在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，試探究∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系（點(diǎn)P和A、B兩點(diǎn)不重合），寫出你的結(jié)論并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵l1∥l2，

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，

∴∠3=∠1+∠2=50°

（2）

解：∠1+∠2=∠3，

理由：∵l1∥l2，

∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，

在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，

∴∠1+∠2=∠3

（3）

解：如圖2，過A點(diǎn)作AF∥BD，則AF∥BD∥CE，

∴∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°

（4）

解：當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)時(shí)，如圖3，過P作PF∥l1，交l4于F，

∴∠1=∠FPC，

∵l1∥l4，

∴PF∥l2，

∴∠2=∠FPD，

∵∠CPD=∠FPD﹣∠FPC，

∴∠CPD=∠2﹣∠1，

當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)時(shí)，如圖4，過P作PG∥l2，交l4于G，

∴∠2=∠GPD，

∵l1∥l2，

∴PG∥l1，

∴∠1=∠CPG，

∵∠CPD=∠CPG﹣∠GPD，

∴∠CPD=∠1﹣∠2．

【解析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可得出∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根據(jù)在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠3=∠1+∠2=50°；（2）根據(jù)l1∥l2 ， 可得∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，再根據(jù)在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，即可得到∠1+∠2=∠3；（3）過A點(diǎn)作AF∥BD，根據(jù)AF∥BD∥CE，即可得到∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；（4）分兩種情況進(jìn)行討論：P點(diǎn)在A的外側(cè)，P點(diǎn)在B的外側(cè)，分別根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和外角，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；三角形的三個(gè)內(nèi)角中，只可能有一個(gè)內(nèi)角是直角或鈍角；直角三角形的兩個(gè)銳角互余；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角即可以解答此題．