Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，OD⊥AB交AC于點D．若∠A=30°，OD=20cm．求CD的長．

Answer 1

分析：在Rt△OAD中，根據正切的概念知OA=OD÷tan30°=20

3

，AD=OD÷sin30°=40，AB是⊙O的直徑，根據直徑是半徑的2倍得AB=2OA=40

3

，直徑所對的圓周角是直角得∠ACB=90°，則有AC=AB•cos30°=40

3

×

3

2

=60，從而求得DC=AC-AD=60-40=20．

解答：解法（1）：∵OD⊥AB，∠A=30°，
∴OA=OD÷tan30°=20

3

，AD=2OD=40．
∵AB是⊙O的直徑，
∴AB=40

3

，且∠ACB=90°．
∴AC=AB•cos30°=40

3

×

3

2

=60．
∴DC=AC-AD=60-40=20（cm）．

解法（2）：過點O作OE⊥AC于點E，
∵OD⊥AB于點O，∠A=30°，
∴AD=2OD=40，AO=OD÷tan30°=20

3

．
∴AE=AO•cos30°=20

3

×

3

2

=30．
∵OE⊥AC于點E，
∴AC=2AE=60．
∴DC=AC-AD=60-40=20（cm）．

解法（3）：∵OD⊥AB于點O，AO=BO，
∴AD=BD．
∴∠1=∠A=30°．
又∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
∴∠2=60°-30°=30°=∠A．
又∵∠AOD=∠C=90°，
∴△AOD≌△BCD．
∴DC=OD=20（cm）．

點評：本題利用了直徑對的圓周角是直角，直角三角形的性質，銳角三角函數的概念求解，注意本題的解法有多種．