Question

【題目】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，AC為對角線，E是邊AD上一點，BE⊥AC交AC于點F，BE、CD的延長線交于點G，且∠ABE=∠CAD．
（1）求證：四邊形ABCD是矩形；
（2）如果AE=EG，求證：AC2=BCBG．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：

∵BE⊥AC，

∴∠AFB=90°．

∴∠ABE+∠BAF=90°．

∵∠ABE=∠CAD．

∴∠CAD+∠BAF=90°．

即∠BAD=90°．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴四邊形ABCD是矩形；

（2）解：連接AG．

∵AE=EG，

∴∠EAG=∠EGA．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AD∥BC．

∴∠ABG=∠BGC．

∴∠CAD=∠BGC．

∴∠AGC=∠GAC．

∴CA=CG．

∵AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB．

∴∠ACB=∠BGC．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCG=90°．

∴∠BCG=∠ABC，

∴△BCG∽△ABC．

∴ ．

∴AC2=BCBG．

【解析】（1）因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以只要證明∠BAD=90°，即可得到四邊形ABCD是矩形；（2）連接AG，由平行四邊形的性質和矩形的性質以及結合已知條件可證明△BCG∽△ABC，再由相似三角形的性質：對應邊的比值相等即可證明AC2=BCBG．
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質和相似三角形的判定與性質，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．