Question

【題目】已知：點E是正方形ABCD中邊AB的中點．

（1）如圖1，點T為線段DE上一點，連接BT并延長交AD于點M，連接AT并延長交CD于點N，且AM＝DN．試判斷線段AN與線段BM的關系，并證明；求證：點M是線段AD的黃金分割點．

（2）如圖2，在AD邊上取一點M，滿足AM2＝DMDA時，連接BM交DE于點T，連接AT并延長交DC于點N，求tan∠MTD的值．

Answer 1

【答案】（1）AN＝BM，AN⊥BM；證明見解析；（2）

【解析】

（1）AN=BM，AN⊥BM．根據題目給出的條件證明△ABM≌△DAN，從而得出AN=BM，∠ABM=∠DAN，進而得出∠BAN+∠DAN=90°，得出∠ATB=90°，從而得出AN⊥BM；根據題目給出的條件證明△MDT～△TDA，得出DT2=MDAD，再證明DT=AM，即可證明點M是線段AD的黃金分割點；

（2）延長BM，CD交于點F，證明△FMD～△BMA，得出DMAB=AMDF，再根據AB∥CD得出DF=DN=AM，進而證明△ABM≌△DAN，可得∠ATB=90°，證得∠ABM=∠ETB=∠MTD，不妨設正方形的邊長為1．設AM=x，由AM2=MDAD，得x2=（1-x）1，求出AM的值，然后根據銳角三角函數的定義解答即可．

解：（1）AN＝BM，AN⊥BM．

理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝DA，∠BAD＝∠ADC＝90°，又AM＝DN，

∴△ABM≌△DAN（SAS），

∴∠ABM＝∠DAN，AN＝BM

又∠BAD＝90°即∠BAN+∠DAN＝90°，

∴∠BAN+∠ABM＝90°

∴∠ATB＝90°，

∴AN⊥BM

∴AN＝BM，AN⊥BM；

證明：∵∠ATB＝90°，M是AB中點．

∴TE＝BE＝AE，

∴∠EBT＝∠ETB，∠EAT＝∠ATE，

又∠ABM＝∠DAN，∠ETB＝∠MTD，

∴∠MTD＝∠DAN，

又∠MDT＝∠ADT，

∴△MDT～△TDA，

∴，

∴DT2＝MDAD，

由AB∥CD，可得∠TND＝∠EAT，又∠EAT＝∠ATE，∠ATE＝∠DTN，

∴∠TND＝∠DTN

∴DT＝DN，又AM＝DN，

∴DT＝AM，

又DT2＝MDAD，

∴AM2＝MDAD，

∴，

∴點M是線段AD的黃金分割點；

（2）延長BM，CD交于點F，如圖．

∵四邊形ABCD是正方形，AB∥CD，

∴∠F＝∠MBA，又∠FMD＝∠AMB，

∴△FMD～△BMA，

∴，即DMAB＝AMDF，

∵AB＝AD，AM2＝DMAD，

∴AM＝DF，

由AB∥CF知，

又AE＝BE，

∴DF＝DN＝AM，

由AB＝AD，∠BAM＝∠ADN＝90°，DN＝AM，可證△ABM≌△DAN（SAS），

∴∠ABM＝∠DAN，

∴∠ABT+∠TAB＝∠TAB+∠DAN＝∠span>BAD＝90°，

∴∠ATB＝90°，

又AE＝BE，

∴BE＝ET，

∴∠ABM＝∠ETB＝∠MTD，

設正方形的邊長為1．設AM＝x，由AM2＝MDAD，

得x2＝（1﹣x）1，

，

又負值不合題意，舍去．

∴，

∴，

在Rt△ABM中，

又∠ABM＝∠MTD，

∴．