Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝CB，O是AB的中點，CA與⊙O相切于點E，CO交⊙O于點D

（1）求證：CB是⊙O的切線；

（2）若∠ACB＝80°，點P是⊙O上一個動點（不與D，E兩點重合），求∠DPE的度數．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠DPE的度數為25°或155°．

【解析】

（1）經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，據此進行判斷．
（2）依據∠ACB=80°，OC平分∠ACB，可得∠ACO=40°，∠DOE=90°-40°=50°，分兩種情況：當點P在優弧弧DPE上時，∠DPE=∠DOE=25°；當點P在劣弧弧DE上時，∠DPE=180°-25°=155°．

解：（1）如圖1所示，連接OE，過O作OF⊥BC于F，

∵CA與⊙O相切于點E，

∴OE⊥AC，

∵△ABC中，AC＝CB，O是AB的中點，

∴OC平分∠ACB，

∴OE＝OF，

又∵OE是⊙O的半徑，

∴CB是⊙O的切線；

（2）如圖2，∵∠ACB＝80°，OC平分∠ACB，

∴∠ACO＝40°，

又∵OE⊥AC，

∴∠DOE＝90°﹣40°＝50°，

當點P在優弧 上時，∠DPE＝∠DOE＝25°；

當點P在劣弧上時，∠DPE＝180°﹣25°＝155°．

∴∠DPE的度數為25°或155°．